0.1＋0.2が、ぴったり0.3にならないことがあるの？
計算が得意なコンピューターなのに、小数の足し算で小さなずれが見えることがあるよ。数字を保存する仕組みと、画面に表示する仕組みを分けて考えよう。
まず、ひとことで
よく使われる2進の浮動小数点数では、0.1を限られた桁でぴったり表せないんだ。近い値を保存し、計算の結果も丸めるので、小さなずれが生まれることがあるよ。数学の答えが変わったのではなく、数の表し方に理由があるんだ。
学校の足し算と、違う答えが出る？
0.1に0.2を足すと、数学の答えは0.3だね。ところが、Webページでも使われるプログラミング言語JavaScriptで、普通の数の型であるNumberを使ってこの式を計算すると、標準的な表示は0.30000000000000004になる。最後の方に、小さな違いが現れるんだ。これは、足し算の決まりが変わったという意味ではないよ。
理由を探すには、入力した文字、コンピューターが保存した数、画面に出た文字を分ける必要がある。全部をひとまとめに「数字」と呼ぶと、どこで違いが生まれたのか見えにくくなるんだ。ここでは、よく使われる2進の浮動小数点数という仕組みを調べるよ。全てのソフトや計算方法で、必ず同じ表示になるわけではないんだ。
小数点の右にも、位の決まりがある
私たちが普段使う10進法では、小数点の右の位は、順番に10分の1、100分の1、1000分の1を表すよ。例えば0.25なら、10分の1が二つと、100分の1が五つという意味だね。一方、0と1を使う2進法では、右へ一つ進むごとに、位の大きさが半分になる。2分の1、4分の1、8分の1、16分の1、という並びなんだ。
だから、2進法の0.101は、2分の1が一つ、4分の1はゼロ、8分の1が一つという意味になる。足すと8分の5で、10進法では0.625だよ。書かれた数字の列が変わっても、表している量は同じなんだ。最初の図では、どの位を使うかを色で示したよ。0.101を、10進法の千分の101として読まないことが大切だね。
位を考えるための四桁の例。2進法の0.1010は、10進法の0.625と同じ値だよ。本物のbinary64のビット配置や桁数は、この図では再現していない。
出典資料に基づきEggplanetが作成した模式図0.1は短い名前なのに、書き切れない？
ある数を短く書けるかどうかは、使う位の決まりによって変わるよ。10進法で短く書ける0.1は、2進法では0.0001100110011…のように、同じ並びが繰り返され、終わらないんだ。0と1が途中で壊れたわけではなく、10分の1という量を、半分、また半分という位の組み合わせで書こうとした結果だよ。
これは、3分の1を10進法の小数で書くと、0.333…と続くことに似ているね。0.33まで書いても、0.333まで書いても、ぴったり3分の1にはならない。ただし、分数の「3分の1」という書き方なら、同じ量を正確に表せる。数そのものに問題があるのではなく、どんな記号と位を使って、どこまで書くかが関わるんだ。
保存できる桁には、終わりがある
コンピューターに、一つの数のための無限に長い場所を用意することはできない。JavaScriptのNumberは、IEEE 754という規格のbinary64に基づく、2進の浮動小数点数だよ。これは限られたビット数で数を表す方式なんだ。0.1のように2進法では終わらない小数は、その方式で保存できる、近くの値に置き換えられるよ。
近い値で表すことを近似といい、使える桁に収まるように値を選ぶ処理を丸めという。後ろをただ切り捨てるだけとは限らず、近い方を選ぶなどの規則があるよ。浮動小数点という名前は、数の桁と、その大きさを決める情報を組み合わせ、広い範囲の数を扱うことに関わる。小数点以下を何桁かだけ保存する、という単純な箱とは違うんだ。
足す前、足した後、表示するとき
0.1と0.2は、この方式ではそれぞれ近似値として保存される。足し算では、その保存された二つの値を足し、結果も表せる値へ丸めるよ。つまり、正確な10分の1と10分の2を紙の上で足すのと、出発点から同じではないんだ。この例の結果は、同じ方式で保存された0.3とも少し違う値になるので、ぴったり等しいかという比較でも違いが出る。
さらに、画面には、保存された数を10進の文字列に変えたものが出る。表示の桁数を減らせば、結果が0.3に見える場合もあるよ。でも、短く表示することと、内部の値を正確な10分の3へ変えることは別なんだ。二つ目の図は、入力、保存、計算、表示の道を分けたよ。長い表示だけを見て、途中のどの段階で近似したのかを決めつけないでね。
JavaScriptのNumberで0.1＋0.2を計算する流れの模式図。途中のビット列は省略し、最後の数は画面の標準的な表示例。保存された値の正確な10進展開を全桁書いたものではないよ。
出典資料に基づきEggplanetが作成した模式図小数は、どれも必ずずれるの？
同じ方式でも、ぴったり表せる小数はあるよ。例えば0.5は2分の1、0.125は8分の1なので、2進法でも短く書ける。この二つの和0.625も正確に表せるんだ。「小数だから必ずずれる」でも、「コンピューターが気まぐれに間違える」でもないね。数の種類と、保存の方式と、行う計算を合わせて考えると、違いを説明できるよ。
別の表し方を選ぶこともできる。例えばPythonには、10進の数を扱うdecimalや、分子と分母で有理数を扱うfractionsという道具があるよ。最初から10進の文字列や整数の分子・分母で渡せば、0.1や3分の1を意図どおりに表す助けになる。ただし、すでに近似した値を後から渡すだけでは、最初の意図を自動で取り戻せない。10進の方式でも、3分の1の割り算などには丸めが必要になるんだ。
どれくらい近ければ、よいのかな？
長さや時間を計算する仕事では、「完全に同じか」だけでなく、「必要な精度に収まっているか」を調べたい場合もあるよ。そのときは、許せる差を決めて比較する方法がある。Pythonのmath.iscloseという道具も、数の大きさに対する割合や、値どうしの差を使って近さを調べる。どんな計算にも、同じ小さな数字を足せば解決する、という方法ではないんだ。
必要な精度は、何を求めたいかによって変わる。大きさの違う量を比べるときや、ゼロに近い値を見るときも、条件を考える必要があるね。また、丸め誤差は、通信中に0と1が入れ替わるデータ破損とは違う。ここまでの例では、機械が決められた方式どおりに動いていても、小さな差が生まれる。原因を分けることが、適した工夫を選ぶ第一歩なんだ。
どっとと考えよう：同じ量を、二通りで書く
紙に、2分の1、4分の1、8分の1、16分の1の四枚のカードを作ろう。使うカードを1、使わないカードを0で表すと、0.625にはどの並びが必要かな。次に、0.1を四枚だけでぴったり作れるか考えてみよう。この活動は位の決まりを学ぶためで、本物のbinary64の保存欄や丸め方を、四枚で再現するものではないよ。
もう一枚の紙には、3分の1を0.3、0.33、0.333までで書き、それぞれを三つ足した値を並べてみよう。最後に分数のまま三つ足した答えと比べると、近い値を使った影響が見えるね。これは10進法の紙の模型だけれど、「表したい量」と「書き切れた値」を分ける練習になるよ。答えを眺めるだけでなく、どんな約束で数を保存したかも確かめてみよう。
ことばのメモ
- 2進小数
- 小数点の右の位が、2分の1、4分の1、8分の1と半分ずつになる小数の表し方。
- 近似
- 表したい値そのものの代わりに、それに近い値を使うこと。
- 丸め
- 決めた桁数や表現方法に収まる値を、規則に従って選ぶこと。切り捨てだけとは限らない。
- 浮動小数点数
- 数の桁と大きさを決める情報を組み合わせ、限られた桁で広い範囲を表す方式。2進だけでなく10進の方式もある。
- 丸め誤差
- 丸めた値と、丸める前の正確な値との違い。
- 有理数
- 整数の分子と、ゼロではない整数の分母からなる分数で表せる数。
もとになった資料・もっと知りたい人へ
下記の資料をもとに、説明と考える問題を独自に構成しています。外部資料には英語のページもあります。どっとの画像は案内用のイラストで、観測写真や科学的な図ではありません。
- Python公式チュートリアル：浮動小数点演算、その問題と制限（2進小数・0.1の近似・表示）
- David Goldberg／Oracle：What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic（Rounding Error節）
- Ecma TC39：The Number Type／Number::add（binary64の数と加算の規則）
- Python公式資料：decimal（10進の表現、精度と丸め）
- Python公式資料：fractions（分数による計算と、floatから変換するときの注意）
- Python公式資料：math.isclose（割合と差による近さの比較）
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